Second degré

1) Définitions :

Définition : Une fonction P définie sur est
une fonction polynôme du second degré, s’il existe trois réels a, b et c
avec a ≠ 0 tels que pour tout x on
puisse écrire : P(x)=ax²+bx+c

Exemples : Sont des polynômes du second degré :

P1 : x |-> x² (avec a=1 ; b=0 et c=0)

P2 : x |-> 1-x² (= -x²+1)

P3 : x |-> x²+x

P4 : x |-> 4x²-5

P5 : x |-> x²+2x+1

P6 : x |-> (2x+1) (1-x) => forme factorisée

Définition : Un réel a est une racine d’un polynôme P si P(a)=0

Exercice : Déterminez les racines de
P1 ; P2 ; P3 …

P1(x)=0
x²=0
P1 admet une seul racine : alpha=0
x=0

P2(x)=0
1-x²=0
P2 admet deux racines : alpha=1 et β=-1
(1-x)(1+x)=0

P3(x)=0
x²+x=0
P3 admet deux racines a=0 ou β=-1
x(x+1)=0
x=0 ou x+1=0
x=0 ou 0=-1

2) Factorisation canonique :

L’idée majeure du paragraphe est de remplacer une expression
du type x²+k.x par le début du développement d’un carré (x+k/2)²

Exemple : Déterminez les racines de x²+4x-5

x²+4x-5=0
x²+2X2x-5=0
(x²+4x+4)-4-5=0 (on complète le carrée)
(x+2)²-9=0
(x+2)²-3²=0 (on fait apparaître a²-b²)
(x+2+3)(x+2-3)=0 (on développe)
(x+5)(x-1)=0

Donc x²+4x-5 a deux racines -5 et 1

Appliquons cette méthode au cas général ax²+bx+c (avec a ≠ 0)

ax2+bx+c= a[x²+ (b/a) x+ (c/a)] car a ≠ 0

= a {[x+ (b/2a)] ² - (b/2a) ² + (c/a)}

= a {[x+ (b/2a)] ² - (b²/4a²) + (c/a)}

= a {[x+ (b/2a)] ² - (b²/4a²) + (4ac/4a²)}

= a {[x+ (b/2a)] ² - [(b²-4ac) / (4a²)]}


Proposition : Soit a, b et c trois réels avec a non nul

Pour tout x , ax²+bx+c=a {[x+ (b/2a) ²] - [(b²-4ac)/4a²]}

Remarque : ainsi écrit, le polynôme est dit « sous
forme canonique ».

3) Equation du second degré :

On cherche à résoudre l’équation ax²+bx+c=0 (avec a ≠ 0)

Avec le forme canonique cette équation équivaut à :

a{[x + (b/2a)] ² - [(b²-4x)/4a²]}=0

En simplifiant Par a ≠ 0 :

[x + (b/2a)] ²-[(b²-4x)/4a²]=0

Pour simplifier, on pose Δ=b²-4ac (on appelle ce nombre
discriminant), l’équation devient :

[x + (b/2a)] ²-(Δ /4a²)=0

On distingue 3 cas :
Si Δ<0 donc [x+ (b/2a)] ²-(Δ /4a²) <0

Donc ax²+bx+c n’admet aucune solution

Si Δ=0 l’équation s’écrit [x+ (b/2a)]=0

Donc ax²+bx+c admet une solution : -b/2a

Si Δ >0 on a [x+ (b/2a)] ²-(Δ /4a²) =0
a{x-[(-b+Δ)/2a]} {x-[(-b-Δ)/2a]} =0

Donc ax²+bx+c admet deux solutions :
(-b+Δ)/2a et (-b-Δ)/2a

On reformule en terme de racines :

Théorème : On pose Δ=b²-4ac

.Si Δ <0, aucune racines réelles

.Si Δ =0, une unique racine double –b/2a
.Si Δ >0, 2 racines : x-[(-b+Δ)/2a] et x-[(-b -Δ)/2a]

4) Paraboles :

Définition : Une parabole est la courbe
représentative d’une fonction polynôme du second degré dans le plan muni d’un
repère orthogonal.

Demonstration : Toute parabole se déduit de la courbe
représentative de la fonction carrée.

Démonstration : Soit f(x)=ax²+bx+c (a ≠ 0)
Sous forme canonique : [x+ (b/2a)] ²-(Δ/4a²)

On voit que Cf se déduit de celle de x à
x² par :

-une translation de vecteur –b/2a « i flèche »
-une translation de vecteur –Δ /4a² « j flèche »
-une dilatation suivant (ay) de coefficient a :

On en déduit l’allure de Cf en fonction de a :

Si a > 0, la fonction est décroissante puis
croissante et atteint son minimum en - b/2a

Si a < 0, la fonction est croissante puis
décroissante et atteint son maximum en - b/2a

5) factorisation des polynômes du second degré :


Théorème : Soit P défini par P(x)=ax² + bx+c
(a=/0)

.Si Δ > 0 : P(x) se factorise en un produit de deux
facteurs du premier degré :
P(x)=a(x-a) (x- β)

.Si Δ = 0 : P(x) se factorise en P(x)=a(x-a) ² où a
est l’unique racine.

.Si Δ <0 : P(x) ne se factorise pas.

Ca sa va nous servir pour demain!!!

c'est fort probable

Bordel le controle je l'ai complétement raté! j'ai foirré! chui degouté!!